Domingo à tarde, e eu morrendo de dor-de-cabeça em casa. Enquanto isso, vejo muita gente falando nas tais figurinhas da Copa. Pois é, então eu decidi fazer exatamente aquilo que qualquer outra pessoa na mesma situação teria feito: usar meus conhecimentos de probabilidade para calcular exatamente qual o valor provável que cada pessoa precisa desembolsar para preencher o álbum.
O valor a que cheguei foi de módicos novecentos e um reais e cinco centavos. Surpreso com o valor tão alto? O problema é que, a medida que o álbum de figurinhas vai ficando cheio, conseguir figurinhas não-repetidas vai ficando progressivamente mais difícil.
De fato, imagine que você tenha um álbum com $k$ figurinhas já preenchidas (de um total de $n$). Então a probabilidade de que uma figurinha comprada nesta situação seja não-repetida será de $\frac{n-k}{n}$, ao passo que a chance de que ela seja repetida e de que você, portanto, precise comprar outra, é de $\frac{k}{n}$.
Concentremo-nos primeiramente em calcular a chance $C_j$ de que você compre exatamente $j$ figurinhas até conseguir uma que não-seja repetida. Este caso só acontece se as $j - 1$ primeiro figurinhas vierem repetidas (probabilidade de $(\frac{k}{n})^{j-1}$) e ao mesmo tempo a j-ésima figurinha for não-repetida (probabilidade de $\frac{n-k}{n}$). Ou seja: $C_j = \frac{n-k}{n} * (\frac{k}{n})^{j-1}$.
Agora usaremos a definição de esperança matemática para calcular o valor esperado $V_k$ de quantas figurinhas são necessárias para irmos de $k$ figurinhas completas para $k+1$: $$V_k = \sum_{j=1}^{\infty}j * C_j = \sum_{j=1}^{\infty}j * \frac{n-k}{n} * (\frac{k}{n})^{j-1}$$ Definindo-se $u = \frac{k}{n}$ temos que $$V_k = \frac{n-k}{n} * \sum_{j=1}^{\infty}j * u^{j-1}$$ Partindo da série geométrica infinita $\sum_{j=0}^{\infty}u^j = \frac{1}{1-u}$ e derivando-se ambos os lados obtemos $\sum_{j=0}^{\infty}j * u^{j-1} = \frac{1}{(1-u)^2}$. O termo com $j=0$ é nulo, então $\sum_{j=1}^{\infty}j * u^{j-1} = \frac{1}{(1-u)^2}$ Aplicando isso à fórmula de $V_k$ (juntamente com a definição de $u$) chegamos à: $$V_k = \frac{n-k}{n}*\frac{1}{(1-\frac{k}{n})^2} = \frac{n * (n - k)}{n^2}*\frac{1}{(1-\frac{k}{n})^2} = \frac{n * (n - k)}{(n-k)^2} = \frac{n}{n-k}$$ Isto é o número provável de figurinhas que precisamos para colocarmos a $k+1$-ésima figura em nosso álbum. Claro que para completar o álbum inteiro, teremos que passar por esse próximo da primeira até a enésima figurinha. Assim, a quantidade de figurinhas que provavelmente alguém precisa comprar é: $$Q_n = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{n}{n-k} = n * \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n-k} = n * \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$. Como o número de figurinhas no álbum da Copa é $n=640$, substituindo os valores podemos concluir que são necessárias (em média) comprar 4505,257528195059 figurinhas para montar o álbum. Como cada figurinha custa 20 centavos, chegamos ao valor aproximado de R\$901,05. Mas não entre em pânico ainda! Essa conta pressupõe o colecionador anti-social, que não trocará figurinhas com ninguém. Deixo como dever de casa para vocês calcular a seguinte fórmula para a quantidade de figurinhas que cada pessoa precisaria comprar, se $m$ amigos tentarem colecionar o álbum trocando as figurinhas entre elas: $$Z_{m,n} = n + \frac{Q_n - n}{m}$$ Ou seja, mesmo que você tenha quatro amigos próximos com quem trocar figurinhas, cada um de vocês precisaria comprar 1413.051505639012 figurinhas para comprar o álbum. Um gasto de R\$282.61. Ainda salgado.
É, o jeito é frequentar estes pontos de troca de figurinha existentes em praças, shoppings e afins.
